费马大定理—我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

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本文导读目录：

1、世界三大数学难题之——费马猜想（又名费马大定理）

2、费马大定理—我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

3、费马大定理

　　皮耶·德·费马 　　皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。根据法文实际发音并参考英文发音，他的姓氏也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就。17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。 　　费马猜想原著 　　大约1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 　　（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."） 　　毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 　　费马猜想海报 　　费马大定理函数表达式 　　1637年，费马在书本空白处提出费马猜想。 　　1770年，欧拉证明n=3时定理成立。 　　1823年，勒让德证明n=5时定理成立。 　　1832年，狄利克雷试图证明n=7失败，但证明 n=14时定理成立。 　　1839年，拉梅证明n=7时定理成立。 　　1850年，库默尔证明22时定理成立。 　　安德鲁·怀尔斯 　　1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。接下来的要将二种“排队”序列对应配对，这一步他二年无进展。此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。 　　安德鲁·怀尔斯在展示自己的成果 　　1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。听完演讲人们意识到谷山---志村猜想巳经证明。由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯.里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山---志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔斯最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。 　　1993年6月23日从剑桥牛顿学院传出费马大定理被证明之后，世界媒体普天盖地般报道了该喜讯 　　史上最精彩的一个数学谜题。 　　证明费马大定理的过程是一部数学史。 　　费马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。 　　这是“20世纪最辉煌的数学成就”。（中科院院士、北大数学院教授姜伯驹，评价安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明） 　　∑编辑 | Gemini 　　来源 | 高中数学任祎老师 　　算法数学之美微信公众号欢迎赐稿 　　稿件涉及数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域，经采用我们将奉上稿酬。 　　投稿邮箱：math_alg@163.com　　费马大定理，又被称为“费马最后的定理”。人类前赴后继挑战了三个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。 　　费马大定理的故事与数学的历史有着千丝万缕的联系，触及数论中所有重大的课题。它对于“是什么推动着数学发展”，或许更重要的“是什么激励着数学家们”提供了一个独特的见解。大定理是一个充满勇气、欺诈、狡猾和悲惨的英雄传奇的核心，牵涉到数学王国中所有的最伟大的英雄。 　　大约在1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 自此，一场对于费马大定理之证明的追逐与挑战开启，直到英国数学家安德鲁·怀尔斯手中，这个史上最深奥的数学谜题才得以完全解开。《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》讲述了怀尔斯经过数年秘密辛苦的工作，终于解决了挑战性的数学问题的艰辛旅程，并来回穿插着历代数学家是如何挑战这个数学之谜的故事。书中既有振奋人心的故事讲述方式，也有引人入胜的科学发现的历史。 　　费马大定理最早的出处——丢番图的《算术》文 | [英]约翰·林奇译 | 薛密这是一个不寻常的周末，我遇见了一些当代最优秀的数学家，开始深入地了解他们的世界。但是尽管我千方百计地想找到安德鲁·怀尔斯，和他谈话，想说服他参与拍摄介绍他的成就的英国广播公司（British Broadcasting Corporation，简称BBC）的《地平线》纪录片，这却是我们的第一次会面。正是这个人最近宣布他已经找到了数学中的那只圣杯，他声称他已证明了费马大定理。在我们说话的时候，怀尔斯显得有点心烦意乱和沉默寡言。虽然他相当客气和友好，但很显然他宁愿我离他尽可能远一点。他非常坦率地解释说，他除了自己的工作外不可能再集中精力于别的事，而他的工作正处于关键时刻，不过或许以后，当眼前的压力解除后，他会乐意参与。我知道，并且他也知道我知道，他正面临着他毕生的抱负将崩溃的局面，他握着的圣杯正在被发现只不过是一只相当漂亮、贵重但普通的饮器。在他宣布过的证明中他已经发现了一个缺陷。皮埃尔·德·费马费马大定理的故事是极不寻常的。我第一次见到安德鲁·怀尔斯的时候，我已经认识到它确实是科学或学术事业中一个最动人的故事。我看到过1993年夏天的头版新闻，当时这个证明将数学推上了世界各国报刊的头版。那个时候，我对费马大定理是怎么一回事只有一点模糊的记忆，但是明白它显然是非常独特的，具有《地平线》的专题影片所需的那种气息。接着的几个星期我用来和许多数学家谈话：那些与这个故事密切相关的，或者接近安德鲁的人；以及那些因直接见证了他们这个领域中的伟大时刻而激动不已的人。所有的人都慷慨地奉献出他们对数学史的真知灼见，他们将就着我仅有的那点理解力耐心地给我讲解有关的概念。很快我就搞清楚了这是一门世界上可能只有五六个人能够完全掌握的学问。有一阵子，我怀疑自己是否疯了，怎么会想去制作这样一部影片。但是从那些数学家那里，我也了解了丰富的历史知识，懂得了费马大定理对于数学以及它的实践者所具有的更深层次上的重要意义。这一点，我想正是这个真实的故事所要演绎的。我了解到这个问题起源于古希腊时代，也了解到费马大定理可算是数论中的喜马拉雅山顶峰。我接触到了数学的艺术美，并开始欣赏把数学比喻成大自然的语言的说法。从怀尔斯的同代人那里，我领悟到他的工作所具有的把数论中最现代的技巧聚集起来应用于他的证明的非凡的力量。在他的普林斯顿的朋友们那里，我听说了怀尔斯在他孤独研究的岁月中取得的错综复杂的进展。我渐渐地勾勒出一幅怀尔斯和那驾驭着他生命的谜的不平凡的画面，但是我似乎注定见不到他本人。虽然怀尔斯的证明中涉及的数学是一些当今最艰难的数学，但是我发现费马大定理的美却是在于这样的事实，就是这个问题的本身特别简单易懂，它是一个用每个中学生都熟悉的话来表达的谜。皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是属于文艺复兴时期传统的人，他处于重新发掘古希腊知识的中心，但是他却问了一个希腊人没有想到过要问的问题，其结果是诞生了一个世界上其他人最难以解答的问题。捉弄人的是，他还给后人留下了一个注记，暗示他已有了一个解答，只不过没有写出这个解答。这场延续了三个世纪的追逐就是这样开始的。这么长的时间跨度为这个难题的重要性奠定了基础。在任何学科中，很难想象有什么问题表达起来如此简单清晰却能够这么长时间地在先进知识的进攻面前屹立不动。想一下自17世纪以来对物理学、化学、生物学、医学和工程学的了解已经出现了多么大的飞跃。我们在医学上已经从“体液”进展到基因切片，我们已经识别出许多基本粒子，我们已经把人送上了月球，可是在数论中费马大定理仍然未被证明。在我的研究过程中，有段时间我在探索：为什么费马大定理对不是数学家的人来说也是重要的，以及为什么把它做成一个电视节目是有意义的。数学有各方面的实际应用，而就数论来说，别人告诉我它最使人兴奋的用处是在晶体学、音响调节的设计以及远距离太空飞船的通信中。这些似乎没有一个会吸引观众。真正能激发人们热情的正是数学家们自己，以及他们谈到费马时表现出来的那种深情。在数学中，绝对的证明是其目标，某件事一旦被证明，它就永远被证明了，不再有更改的可能。在费马大定理中，数学家们遇到了他们在证明方面最大的挑战，发现答案的人将会受到整个数学界特别的景仰。有人提供了奖赏，竞争也十分活跃，大定理有过一段涉及死亡和欺诈的荒唐历史，它甚至刺激了数学的发展。就像哈佛大学的数学家巴里·梅休尔（Barry Mazur）曾提到过的，费马使人们对那些与早期的证明尝试有关的数学领域增加了某种“敌意”。具有讽刺意义的是，结果正是这样的一个数学领域成了怀尔斯最后的证明中的关键。英国数学家安德鲁·怀尔斯通过逐步地了解这个陌生的领域，我渐渐地把费马大定理当作数学的中心，甚至相当于数学发展的本身来理解。费马是现代数论之父，自从他的时代以来，数学已经有了很大的发展和进步，并且形成了许多神秘的领域，在那里新的技术又孕育出新的数学领域，并成了它们自身中的一部分。随着几个世纪时光的流逝，大定理似乎越来越与数学研究的前沿无关，而越来越成为仅仅是一个使人好奇的问题。但是现在清楚了，它从未失去过在数学中的中心地位。与数有关的问题，例如费马提出的这个问题，就像游乐场中的智力题，而数学家就像在解答智力题。对安德鲁·怀尔斯来说，这是一个非常特殊的智力题，是他一生的抱负。30年前，当他还是个小孩，在公共图书馆的一本书上碰巧发现了费马大定理时，他就被这个问题吸引住了。他童年时代和成年时期的梦想就是解决这个问题。在1993年的那个夏天，他第一次宣布他的证明时，他在这个问题上长达7年的全身心投入，以及难以想象的高度集中的精力和坚强决心终于有了结果。他用到的许多方法在他开始探索的时候尚未被创立。他也吸取了许多优秀数学家的工作成果，把各种想法贯通起来，创立了别人不敢尝试的概念。巴里·梅休尔评论说，在某种意义上每个人都在研究费马问题，但只是零星地而没有把它作为目标，因为这个证明需要把现代数学的整个力量聚集起来才能完全解答。安德鲁所做的就是再一次把似乎是相隔很远的一些数学领域结合在一起。人们对证明的可靠程度的少许怀疑像那个缺陷一样在1993年秋天逐渐显露出来，这一点安德鲁感觉到了。不知怎么回事，全世界都注视着他，他的同事们也要求他将证明公开，只有他知道该怎么办，他没有垮掉。他已经从隐居式地按照自己的步调研究数学突然地转向公开。安德鲁是一个非常不愿公开的人，他尽力使他的家庭免遭正围绕着他刮起的风暴的冲击。在普林斯顿的整整一周中，我打过电话，在他的办公室里，在他的门阶上，还通过他的朋友留了纸条；我甚至准备了英国茶叶和马麦脱酸制酵母作为礼物。但是他婉拒了我的主动表示，直到我要离开的那天才有个机会。我们进行了平静而紧凑的谈话，总共持续了不到一刻钟。在那天下午分手的时候，我们之间达成了一项默契。如果他设法补救了证明，那么他会来找我讨论影片的事；我准备等待。但是在晚上当我返回伦敦时，感到似乎电视节目的事已完蛋了。300多年来，在众多尝试过的对费马大定理的证明中还没有一个人能补救出现过的漏洞。历史充满了虚假的断言，尽管我多么希望他会是一个例外，但是很难想象安德鲁不会是那片数学墓园中的另一块墓碑。一年以后，我接到了那个电话。历经异乎寻常的数学上的曲折、真知灼见和灵感的闪现，安德鲁最终在他的专业生涯中解决了费马大定理问题。此后又经过一年，我们找到了他能投入摄制工作的时间。这一次我邀请了西蒙·辛格（Simon Singh）和我一起制作这部影片，我们一起和安德鲁度过了这段时光，向他本人了解那7年的孤立研究以及之后的艰难痛苦的一年的完整情节。当我们拍摄时，安德鲁告诉我们（他以前从未对人说过）他内心深处对他所完成的这一切的感受；30多年来他是如何念念不忘他的童年的梦想；他曾研究过的那么多数学是怎么不知不觉地聚集起来，成了他向主宰他的数学生涯的费马大定理挑战的工具；一切又是怎么会总是不一样的。他谈到了由于这个问题不再伴随着他而引起的失落感，也谈到由于他现在得到解脱而产生的振奋感。对这样一个其有关内容在技术上极难为外行听众理解的领域，我们的谈话中涉及情感的成分比我科学影片制作生涯中经历过的任何一次都要多。对安德鲁而言，这部影片是他生命中一个篇章的终结；而对我而言，能与它结下不解之缘则是一种荣光。这部影片在BBC电视台作为《地平线：费马大定理》节目播放。西蒙·辛格现在把那些深刻的见解和私下谈心，连同详尽的丰富多彩的故事和与之相关的历史和数学一起演绎成这本书，完整和富有启迪地记录了人类思维中最伟大的故事之一。来源：版权属于原作者。若有侵权， 删除或修改！ 　　END　　(重定向自费马问题) 　　费马大定理（Fermat's Last Theorem） 　　费马大定理也称费马最后定理（Le dernier théorème de Fermat），乃下述定理： 　　当整数时，关于, , 的不定方程: 　　的整数解都是平凡解，即: 　　当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m) 　　当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0) 　　这个定理，本来又称费马猜想﹝Fermat's conjecture﹞，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出。费马在一本书的空位里写，他已找到一个绝妙证明，但书边没有足够的空位写下。但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和他的学生理查·泰勒（Richard Taylor）于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得了2005年度邵逸夫奖的数学奖。 　　1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下(拉丁文原文: "Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 　　对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 　　1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万德国马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的「证明」。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 　　1983年，Gerd Faltings证明了Mordell猜测（Faltings' theorem），从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的使得。 　　1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想（Epsilon conjecture）”：若存在a,b,c使得an + bn = cn，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线: 　　y2 = x(x - an)(x + bn) 　　会是谷山-志村猜想的一个反例。 Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 　　1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 　　怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。 　　费马大定理的证明牵濒不同范畴的数学学问，主要包括椭圆曲线和模形式。若打算阅读威尔斯的证明，那应先在线性代数及复分析两范畴上打好基本功，再转而阅读椭圆曲线和模形式的课本。 　　1676年数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n＝4。1678年和1738年德国数学家莱布尼兹和瑞士数学家欧拉也各自证明n＝4。1770年欧拉证明n＝3。1823年和1825年法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明n＝5。1832年狄利克雷试图证明n＝7，却只证明了n＝14。1839年法国数学家拉梅证明了n＝7，随后得到法国数学家勒贝格的简化……19世纪贡献最大的是德国数学家库麦尔，他从1844年起花费20多年时间，创立了理想数理论，为代数数论奠下基础；库麦尔证明当n<100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。 　　为推进费马大定理的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔临终在哥廷根皇家科学会悬赏10万马克，并充分考虑到证明的艰巨性，将期限定为100年。数学迷们对此趋之若鹜，纷纷把“证明”寄给数学家，期望凭短短几页初等变换夺取桂冠。德国数学家兰道印制了一批明信片由学生填写：“亲爱的先生或女士：您对费马大定理的证明已经收到，现予退回，第一个错误出现在第＿页第＿行。” 　　在解决问题的过程中，数学家们不但利用了广博精深的数学知识，还创造了许多新理论新方法，对数学发展的贡献难以估量。1900年，希尔伯特提出尚未解决的23个问题时虽未将费马大定理列入，却把它作为一个在解决中不断产生新理论新方法的典型例证。据说希尔伯特还宣称自己能够证明，但他认为问题一旦解决，有益的副产品将不再产生。“我应更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。” 　　数学家就是这样缓慢而执着地向前迈进，直至1955年证明n<4002。大型计算机的出现推进了证明速度，1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n<125000，1985年美国数学家罗瑟证明n<41000000。但数学是严谨的科学，n值再大依然有限，从有限到无穷的距离漫长而遥远。 　　1983年，年仅29岁的德国数学家法尔廷斯证明了代数几何中的莫德尔猜想，为此在第20届国际数学家大会上荣获菲尔茨奖；此奖相当于数学界的诺贝尔奖，只授予40岁以下的青年数学家。莫德尔猜想有一个直接推论：对于形如的方程至多只有有限多组整数解。这对费马大定理的证明是一个有益的突破。从“有限多组”到“一组没有”还有很大差距，但从无限到有限已前进了一大步。 　　1955年日本数学家谷山丰提出过一个属于代数几何范畴的谷山猜想，德国数学家弗雷在1985年指出：如果费马大定理不成立，谷山猜想也不成立。随后德国数学家佩尔提出佩尔猜想，补足了弗雷观点的缺陷。至此，如果谷山猜想和佩尔猜想都被证明，费马大定理不证自明。 　　事隔一载，美国加利福尼亚大学伯克利分校数学家里比特证明了佩尔猜想。 　　1993年6月，英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿数学研究所举行了一系列代数几何学术讲演。在6月23日最后一次讲演《椭圆曲线、模型式和伽罗瓦表示》中，怀尔斯部分证明了谷山猜想。所谓部分证明，是指怀尔斯证明了谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线成立——谢天谢地，与费马大定理相关的那条椭圆曲线恰好是半稳定的！这时在座60多位知名数学家意识到，困扰数学界三个半世纪的费马大定理被证明了！这一消息在讲演后不胫而走，许多大学都举行了游行和狂欢，在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序。 　　五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马大定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。 　　这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。 　　用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定方程 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程 ，和方程 ，(p是一个奇素数)均无xyz≠0的整数解。 　　n=4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p=3的情，但证明不完全。勒让德(1823)和狄利克雷(1825)证明了p=5的情形。1839年，拉梅证明了p=7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p<100时，除了p=37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p<4002时费马猜想成立。 　　现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p<125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则证明中用到了法尔廷斯(Faltings)的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x>0，y>0，z>0，n>2，使 ，则. 费马小定理

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